RE: OT Pí a jiná transcendentní čísla zapsaná zlomkem

[Pavel Hudecek]

Jsem se vyjádřil poněkud zmateně:-)
Mě šlo o tvrzení, že ze zlomku o celkem n cifrách dostanu desetinné číslo, kde je max. n platných cifer té správné hodnoty a že tedy ty zlomky nemají praktický význam, protože jejich pamatováním nezískám víc míst, než když si pamatuju přímo des. číslo o stejném celkovém počtu cifer.

Včera jsem si na to ještě zkusil udělat program a závěr je, že v celém rozsahu double tuto podmínku překračuje jen těch 355/113, kde je chyba při 6 cifrách ve zlomku chyba jen 2.66764e-07. Úplně nejpřesnější bylo 80143857/25510582, kde je v 16 cifrách zlomku obsaženo pí s chybou -4.44089e-16.

Na druhou stranu, obecnou platnost toho tvrzení se mi podařilo vyvrátit:
T = ½ + π/1000000 je, předpokládám, taky transcendentní, ale lze ho s přesností cca 6 platných cifer aproximovat zlomkem 1/2.

PH

Od: Miroslav Mraz
Odesláno:neděle 6. června 2021 21:32
Komu: hw-list na list.hw.cz
Předmět: Re: OT Pí a jiná transcendentní čísla zapsaná zlomkem

Iracionální čísla nejdou přesně vyjádřit zlomkem, je to jejich definice. 
Technicky vždy pracujete jen s omezenou přesností a to co hledáte je 
tzv. řetězový zlomek a Eulerův algoritmus. To je to nejefektivnější co 
můžete použít - jsou to pro pí ty zlomky 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, 
103993/33102 atd.
Otázka konvergence těchto zlomků bude patrně dost komplikovaná, já si 
jen pamatuji, že tomuto algoritmu nejvíce odolává iracionální číslo (1 + 
sqrt(5))/2 nazývané zlatý řez.
Někdy to může užitečné - např. 355/113 je poměrně dobrá aproximace pí, 
paměť tím ale moc neušetříte, pokud chcete relativní přesnost čísla 
1/2^n, prostě vám minimálně těch n bitů v paměti zabere.

Je dobré si uvědomit, že naprostá většina reálných čísel je úplně k 
ničemu a neexistuje ani žádná matematická metoda, která by k nim vedla. 
Ten ubohoučký zbytek, který je sice nekonečný a kterým se matematika 
vůbec může zabývat, nestojí vlastně za řeč.

Mrazík

Dne 06. 06. 21 v 15:46 Pavel Hudecek napsal(a):
> Občas narazím na zlomek, který má vyjadřovat pí s určitou přesností. 
> Prakticky vždy celkový počet cifer ve zlomku odpovídá počtu cifer z pí, 
> které je schopen vyjádřit, +/-1 cifra.
> 
> Teď jsem narazil na zlomek pro 1000 des. Míst, tedy celkem 1001 cifer:
> 
> https://www.beda.cz/~jirkaj/pi/
> 
> po uložení samotných cifer vznikl fajl velikosti 1001 B
> 
> Je to náhoda, nebo lze dokázat, že transcendentní čísla nejde 
> komprimovat do zlomků?
------------- další část ---------------
HTML příloha byla odstraněna...
URL: <http://list.hw.cz/pipermail/hw-list/attachments/20210607/95fadf1f/attachment.html>