RE: OT Pí a jiná transcendentní čísla zapsaná zlomkem

[Aleš Procháska]

Určitý praktický význam to přeci jenom má, třeba pro aproximaci těch čísel převodovkou s ozubenými koly. U mechanických soustruhů bývá v příslušenství běžně výměnné kolo se 113 zuby (viz zlomek níže), protože je občas potřeba dělat šrouby se stoupáním nπ.

Aleš Procháska

From: Hw-list <hw-list-bounces na list.hw.cz> On Behalf Of Pavel Hudecek
Sent: Monday, June 07, 2021 8:56 AM
To: HW-news <hw-list na list.hw.cz>
Subject: RE: OT Pí a jiná transcendentní čísla zapsaná zlomkem

že tedy ty zlomky nemají praktický význam, protože jejich pamatováním nezískám víc míst, než když si pamatuju přímo des. číslo o stejném celkovém počtu cifer.
Včera jsem si na to ještě zkusil udělat program a závěr je, že v celém rozsahu double tuto podmínku překračuje jen těch 355/113

PH

Od: Miroslav Mraz<mailto:mrazik na volny.cz>
Odesláno:neděle 6. června 2021 21:32
Komu: hw-list na list.hw.cz<mailto:hw-list na list.hw.cz>
Předmět: Re: OT Pí a jiná transcendentní čísla zapsaná zlomkem

Iracionální čísla nejdou přesně vyjádřit zlomkem, je to jejich definice.
Technicky vždy pracujete jen s omezenou přesností a to co hledáte je
tzv. řetězový zlomek a Eulerův algoritmus. To je to nejefektivnější co
můžete použít - jsou to pro pí ty zlomky 3/1, 22/7, 333/106, 355/113,
103993/33102 atd.
Otázka konvergence těchto zlomků bude patrně dost komplikovaná, já si
jen pamatuji, že tomuto algoritmu nejvíce odolává iracionální číslo (1 +
sqrt(5))/2 nazývané zlatý řez.
Někdy to může užitečné - např. 355/113 je poměrně dobrá aproximace pí,
paměť tím ale moc neušetříte, pokud chcete relativní přesnost čísla
1/2^n, prostě vám minimálně těch n bitů v paměti zabere.

Je dobré si uvědomit, že naprostá většina reálných čísel je úplně k
ničemu a neexistuje ani žádná matematická metoda, která by k nim vedla.
Ten ubohoučký zbytek, který je sice nekonečný a kterým se matematika
vůbec může zabývat, nestojí vlastně za řeč.

Mrazík

Dne 06. 06. 21 v 15:46 Pavel Hudecek napsal(a):
> Občas narazím na zlomek, který má vyjadřovat pí s určitou přesností.
> Prakticky vždy celkový počet cifer ve zlomku odpovídá počtu cifer z pí,
> které je schopen vyjádřit, +/-1 cifra.
>
> Teď jsem narazil na zlomek pro 1000 des. Míst, tedy celkem 1001 cifer:
>
> https://www.beda.cz/~jirkaj/pi/
>
> po uložení samotných cifer vznikl fajl velikosti 1001 B
>
> Je to náhoda, nebo lze dokázat, že transcendentní čísla nejde
> komprimovat do zlomků?
------------- další část ---------------
HTML příloha byla odstraněna...
URL: <http://list.hw.cz/pipermail/hw-list/attachments/20210607/7e3e7f0f/attachment.html>