OT na pátek: Fibonacci trochu jinak

[Pavel Troller]

Zdravím,
  nevím, co mne to napadlo, ale včera večer na mne padl jakýsi "math mood"
:-). Hrál jsem si s čísly, zkoušel různé posloupnosti, až mne napadlo vzít
Fibonacciho posloupnost modulo 10, tj. vždy jen spodní číslici součtu, a
rozvíjet tak dlouho, dokud se nezacyklí. To, že se zacyklit musí, intuitivně
cítím, ale dokázat neumím. Nicméně, k zacyklení skutečně dojde, a to po 60
číslicích. Celkem dlouhá posloupnost!:

0 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 ...

  Všiml jsem si však, že tato posloupnost neobsahuje všechny možné kombinace
dvou po sobě jdoucích číslic, např. jsem nenalezl 0 2. Vygeneroval jsem tedy
tuto posloupnost, a vida, ona je samostatná:

0 2 2 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2 ...

  Je celkem logické, že může obsahovat jen sudé číslice, takže se musí zacyklit
dříve: 20 číslic. A samozřejmě neobsahuje žádné kombinace dvou číslic, které
by byly v první posloupnosti.

Ještě mi chyběla kombinace 0 5, ale ta vede na velmi degenerovanou posloupnost:

0 5 5 ...

Nu a pak samozřejmě "singulární" (délka 2, ale jen jedna kombinace 2 číslic)

0 0 ...

Po poměrně dlouhém hledání jsem nalezl, že mi ještě chybí např. kombinace 1 3.
A vida, zase originál, opět docela krátký (12):

1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 ...

Zajímavé je, že v této chybí číslice 5 i 0.
Tato posloupnost opět doplnila další chybějící kombinace.

Protože mne zajímalo, zda jsem už vyčerpal vše, napsal jsem si malý prográmek
v C, generující řadu dle zadaných prvých dvou členů, a ten jsem zascriptoval
z bashe pro všechny kombinace. Zjistil jsem, že mi unikla ještě jedna krátká
posloupnost (4):

2 6 8 4 ...

To by mělo být vše.

Takže, můj závěr je, že pokud vedle sebe napíšete libovolné 2 číslice a
použijete Fibonacciho algoritmus mod 10, spadnete vždy do jedné z výše
uvedených šesti řad.

Jenže mám problém. Pokud se nemýlím, celkový počet kombinací dvou prvků z 10
s opakováním je dán permutačním číslem P(10 2), což jest 90. Dále, pokud se
nemýlím, by mělo platit, že počet členů posloupnosti před zacyklením je zároveň
totožný s počtem jedinečných kombinací dvou číslic, které tato posloupnost
generuje. A tady je problém - když sečtu počty kombinací všech řad, dostávám se
k číslu 60+20+3+1+12+4=100. Jak to ? Kde je chyba ?

Na okraj by mne zajímalo, zda jsem vynalezl vynalezené a je-li tato vlastnost
obecně známá (mne v matice o tom neučili) a nebo zda to, že existuje právě 6
různých posloupností pro uvedený algoritmus (nemýlím-li se) je něco, co třeba
ještě nikde napsáno není (což si moc nemyslím)...

Zdraví Pavel