OT: Kam sa hrabe Ludolf...

[Vymětal Tomáš]

Jan Waclawek napsal(a):

>http://www.nadhajsky.szm.sk/
>
>wek
>_______________________________________________
>HW-list mailing list  -  sponsored by www.HW.cz
>Hw-list@list.hw.cz
>http://list.hw.cz/mailman/listinfo/hw-list
>
>  
>
A co moje školní práce ? ;)

Já si toto číslo pamatuji a budu pamatovat jako 3,1415926535898. Toto 
číslo je však nekonečné. Pro obyčejné matematické operace se používají 
obvykle jen první čtyři desetinná čísla. Jediným výsledkem však bylo 
vždy jen: * *

*4 / 3 . p = 4,1888
*

Posléze jsem došel k výsledku, že: * *

*p = 22 / 7 = 3,142857143*

což je celkem dost blízko k opravdovému p . Dále jsem nalezl několik 
zlomkových čísel, které vyjadřovaly p na minimálně čtyři desetinná 
čísla. Tyto zlomky šly řádově do stovek tisíc, takže celkem 
nepoužitelné. Na střední škole jsem se věnoval spíše goniometrickému 
rozložení p , které se mi nakonec podařilo. Rovnice vypadá cirka takto: * *

*p = x . sin ( 180 / x ) *

přičemž za x, by se mělo dosadit, co nevyšší číslo. Pro naprosto správné 
p , byste museli zadat nekonečno. Tato rovnice se stala oporou mé další 
práce. Další tři ročníky střední školy jsem se účastnil matematických 
olympiád, nejúspěšněji v prvním ročníku. Umístil jsem se na pátém místě. 
Ve druhém ročníku jsem totálně zmrvil jeden geometrickej příklad, takže 
šance na umístění se vypařila. Ve třetím ročníku měla naše škola jakési 
organizační problémy, tedy přihláška nedošla komisi ve stanovené době. 
Vlastně tam nepřišla vůbec. Tohle jsme ale zjistili až v místě konání 
soutěže. Nechali nás sice řešit příklady, ale jelikož náš devítičlenný 
tým neměl šanci na umístění, nikdo se nepřetrhával. Již v prvním ročníku 
byly geometrické příklady, typu objemy aj. Dost dobře si to nepamatuju. 
Totiž šlo o to, vypočítat objem několik šestiúhelných kuželů a hranolů. 
Celkové mezivýpočty zabíraly i několik desítek minut. Z tohoto důvodu 
jsem své další bádání zaměřil na urychlení výpočtu pravidelných 
n-úhelníků. Nejdřív jsem rozpracoval několik rovnic pro 5, 6, 7 a 8 
úhelníky. Např. Pro pravidelný šestiúhelník bude rovnice vypadat asi 
takto: * *

*S = 2,6 . r ^ 2 *

přičemž r je poloměr kružnice opsané šestiúhelníku, tedy je to délka 
každé strany. Číslo 2,6 není zcela přesné, správně je to asi 2,5980. 
Problém s byl především v tom, že se může objevit příklad s pravidelným 
n-úhelníkem, pro který nebudu mít danou rovnici vypočítanou. Navíc počet 
těchto rovnic se neustále zvyšoval, takže jsem musel přijít na něco 
jednoduššího. Koncem druhého ročníku se mi podařilo vyjádřit p, které 
posloužilo jako základ ke všem dalším výpočtům. Další rovnicí, kterou se 
mi podařilo objevit je: * *

*S = x . r ^ 2 . sin ( 180 / x ) . cos ( 180 / x ) *

kde r, je poloměr opsané kružnice a x, počet úhlů daného n-úhelníku. Jde 
vlastně o vyjádření n-úhelníku jako kruhu, kde mírně pozměníme p, které 
vlastně vyjadřuje vztah mezi kruhem a pravidelným n-úhelníkem. Další 
rovnicí je: * *

*o = 2 . x . r . sin ( 180 / x ) *

která má stejné parametry jako předchozí rovnice, jen jde o vyjádření 
obvodu. Jenže ne vždy známe r (poloměr) kružnice opsané. V několika málo 
případech jsem narazil na příklady, které měly jako vstupní hodnotu 
poloměr kružnice vepsané. Výpočet obsahu a obvodu takovýchto 
pravidelných n-úhelníků je ještě o něco těžší než u kružnice opsané. U 
mého goniometrického vyjádření je však řešení překvapivě jednoduché: * *

*S = x . r ^ 2 . tg ( 180 / x ) *

Tato rovnice, jak již bylo řečeno, vyjadřuje obsah pravidelného 
n-úhelníku, pokud známe poloměr jeho vepsané kružnice. Poslední rovnicí 
je: * *

*o= 2 . r . x . tg ( 180 / x ) *

která vyjadřuje za stejných podmínek obvod n-úhelníku. Doufám, že vám 
tyto poznatky k něčemu pomohou.

T.V.