Aproximace sinusovky -- pokus o smysluplnejsi reseni

[Marek Peca]

Zdravim,

je otazka, podle jakeho kriteria posuzujete podobnost sinusovce. Pro
nejakou aplikaci by se mozna hodila plocha rozdilu, ve vetsine
pripadu se ale pocita s plochou druhe mocniny rozdilu. Vzhledem k
tomu, ze jsme elektrotechnici, asi to bude i nas pripad. Opravte me,
pokud se pletu, ale vychazi mi, ze pokud minimalizujeme integral
druhe mocniny rozdilu mezi aproximaci a sinusovkou, minimalizujeme
harmonicke zkresleni THD (Parcevalova rovnost).

Sinusovka ma shodne pulvlny, kazda pulvlna je jeste osove symetricka.
Hledame tedy jedine cislo (x), a sice dobu, o kterou bude hrana
obdelniku opozdena (na druhe strane v predstihu) oproti pruchodu
sinusovky nulou.

Mozna to jde resit elegantneji, sam bych rad vedel jak. Moje reseni:
resime v intervalu t=(0,pi/2), aproximujeme funkci sin(t).  
Aproximujici funkce f(t)=0 pro t=(0,x) a f(t)=y pro t=(x,pi/2).

Kvadraticka plocha chyby je
E2 = integral_0..x (sin(t))^2 dt + integral_x..pi/2 (sin(t)-x)^2 dt.

Po integraci E2(x,y) = konst. - 2*y*cos(x) + y^2*(pi/2 - x).

Je treba najit minimum teto fce, po derivacich a dosazeni mi vychazi
cos(x) + (2*x - pi)*sin(x) = 0, coz jsem resil numericky a vyslo mi

+------------------+
|  x = 0.40523512  |
| (y = 0.78846970) |
+------------------+

Nuze, za nejlepsi odpoved na polozeny dotaz povazuji aproximujici fci
  f(t) =  A ... t = 0.0645*T az 0.4355*T
  f(t) = -A ... t = 0.5645*T az 0.9355*T
  f(t) =  0 ... jinde
pricemz aproximovana sinusovka ma amplitudu 1.268*A.

V podstate z toho plyne, ze dost presnou aprximaci je prachobycejny
obdelnik 1:1.

Snad jsem nekde neudelal nejakou chybu. Budu vdecen za pripominky.
Pekny podvecer preje Marek P.


Poznamka: predchozi navrhy "pro stredni hodnotu" nebo "pro efektivni
hodnotu" jsou ponekud zavadejici. (Mnou vyse uvedeny postup by asi
nejlepe splnil vagni oznaceni "pro efektivni hodnotu".)
Sinusovkou o delce trvani 1/100 periody a o patricne amplitude
dosahnu libovolnych hodnot stredni i efektivni hodnoty, takze takove
srovnavani postrada smysl.


On Wed, 5 Oct 2005, Martin Zaruba wrote:

> Potrebuji se co nejlepe priblizit sinusovce prubehem, kde se bude stridat +
> 0 - 0 ..... Jak urcit pomer doby kdy napeti bude v nule a v kladne/zaporne
> hodnote?
> Predpokladam, ze tento prubeh je prece o neco lepsi nez obdelnik.
> 
> Martin Zaruba